Kurt Gödel | Eksiklik Teoremi | Matematik Hikayeleri

// By Burak Aksoydan 27 Eylül 2021

Kurt Gödel ve meşhur teoremi… Aslında bu yazının anlaşılması biraz güç. Teorem matematikçiler tarafından halen tartışılmaktadır.

Harvey Mudd Koleji'nde Fahri Matematik Profesörü olan Melvin Henriksen şu açıklamayı sunuyor:

KURT GÖDEL , 1931'de Eksiklik Teoremi'nin yayınlanmasıyla ün kazandı.

Gödel'in Eksiklik Teoreminin matematiksel olarak kesin bir ifadesini vermek, matematiksel mantıkta uzman olmayan hemen hemen herkesin önemli sezgisel içeriğini gizleyecektir. Bunun yerine, onu bilgisayar dilinde yeniden ifade edip basitleştireceğim.

Oracle adında çok güçlü bir bilgisayara erişimimiz olduğunu hayal edin. Oracle, aşina olduğumuz bilgisayarlarda olduğu gibi, kullanıcıdan kesin kuralları takip eden komutları "girmesini" ister ve "çıktı" ya da yanıtı da bu kurallara uygun şekilde sağlar. Aynı girdi her zaman aynı çıktıyı üretecektir. Girdi ve çıktı tamsayılar (veya tam sayılar) olarak yazılır ve Oracle yalnızca olağan toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini (mümkün olduğunda) gerçekleştirir. Sıradan bilgisayarların aksine, verimlilik veya zaman ile ilgili herhangi bir endişe yoktur. Oracle, ne kadar sürerse sürsün verilen talimatları gerektiği gibi yerine getirecek ve bir milyon yıldan fazla sürse bile, yalnızca yürütüldüklerinde duracaktır.

Basit bir örnek düşünelim. 1'den büyük pozitif bir tam sayıya (buna N diyelim), 1 ve N dışında herhangi bir pozitif tam sayıya bölünemiyorsa asal sayı denir. Oracle'dan N'nin asal olup olmadığına karar vermesini nasıl istersiniz? N'yi 1 ile N-1 arasındaki her tam sayıya bölmesini ve bölme eşit olarak çıktığında veya N-1'e ulaştığında durmasını söyleyin. (Aslında, N'nin kareköküne ulaşırsa durabilirsiniz. O noktada N'nin çift bölmeleri yoksa, N asaldır.)

Gödel teoreminin söylediği, yalnızca tamsayıların aritmetiğini içeren, Oracle'ın cevaplayamayacağı, uygun şekilde sorulan sorular olduğudur. Başka bir deyişle, doğru şekilde girilmiş olmasına rağmen Oracle'ın bunların doğru mu yanlış mı olduğuna karar veremediği ifadeler vardır. Bu tür iddialara karar verilemez denir ve çok karmaşıktır. Ve eğer Dr. Gödel'e bir tane getirseydiniz, size bu tür iddiaların her zaman var olacağını açıklardı.

Size Oracle'ın "gelişmiş" bir modeli verilse bile, buna OracleT deyin, burada karar verilemeyen belirli bir ifadenin, UD'nin doğru olduğuna karar verilir, onun yerini almak için başka bir karar verilemez ifade oluşturulur. Daha da şaşırtıcı olanı, size Oracle'ın başka bir "gelişmiş" modeli de verilebilir, buna OracleF olarak adlandırın ve UD'nin yanlış olduğuna karar verilir. Ne olursa olsun, bu model de başka karar verilemeyen ifadeler üretecek ve OracleT'lerden farklı, ancak eşit derecede geçerli sonuçlar verebilir.

Bunu şok edici ve paradoksa yakın buluyor musunuz? 1931'de Gödel'in eksiklik teoremini açıklaması matematik dünyası için daha da şok ediciydi. Gödel, sonucunu bilgisayar dilinde ifade etmedi. Kesin bir mantıksal sistem içinde çalıştı ve matematikçiler sonucunun bu sistemin özelliklerine bağlı olduğunu umuyorlardı. Ancak sonraki on yılda, Stephen C. Kleene, Emil Post, JB Rosser ve Alan Turing dahil olmak üzere bir dizi matematikçi, bunun olmadığını gösterdi.

Bu büyük teoremin sonuçları üzerine araştırmalar bu güne kadar devam ediyor. Arama motorlarını kullanarak İnternet erişimi olan herkes, Gödel Teoremi'nde oldukça değişken kalitede birkaç yüz makale bulabilir. Yine de okunacak en iyi şeyler arasında Ernest Nagel ve James R. Newman'ın 1958'de basılan ve 1983'te New York University Press tarafından ciltsiz olarak yayınlanan Gödel'in Kanıtı var .

Kısaca:

1. Matematik gibi tutarlı olan herhangi bir mantıksal sistem, sistem içinde çözülemeyecek sorunlara sahip olacaktır.
2. Tüm problemlerini çözebilecek herhangi bir mantıksal sistem tutarsız olacaktır.

O bunu kanıtlamak için aynı anda hem doğru hem de doğru olmayan matematiksel bir kanıt geliştirdi.