Rasyonel Sayıların Sayılabilirliğine İlişkin Cantor Teoreminin Kanıtı | Teoremler

Rasyonel Sayıların Sayılabilirliğine İlişkin Cantor Teoreminin Kanıtı

EN BÜYÜK 100 TEOREM

 

// By Burak Aksoydan 20 Şubat 2021

TEOREM #3

George Cantor

George'un rasyonel sayıları nasıl saydığına geçmeden önce, George'un kullandığı gerçek tekniği biraz gözden geçireceğiz. (Tamsayıları saymak için kullandığı yöntem esasen buna benzerdi.) Her iki durumda da George sonsuzluğu saymaya çalışıyordu ve o sırada kimse sonsuzluğun gerçekte ne olduğundan tam olarak emin değildi.

Sonsuzluğun doğası, eski Yunanlılara kadar uzanan bir konudur. Aristoteles muhtemelen çok düşündü bu tanımı, modern kavramları oldukça iyi tahmin ediyordu ve George kanıtına başlayana kadar bundan tam olarak emin değildi.

George, sonsuzluğu sayma konusunda ki sorunu henüz kimsenin matematiksel terimlerle tam olarak tanımlamamış olduğunu fark etti. Sadece bir tür sonsuzluk olduğunu da varsaymadı.  Farklı sonsuzluklar mevcuttu elbette ve en basit sonsuzluk kavramı ise sayma sayıların sonsuz olduğuydu.

Öyleyse sorduğu ilk soru , sayma sayılarının sonsuz olduğunu gerçekten nasıl bildiğimizdi? Bir öğretmen için bu çileden çıkarıcı bir soru olabilir. Ama neyse ki George cevabı buldu.

George, sayma sayılarının sonsuz olduğunu bildiğimizden emindi, çünkü hangi sayıyı seçerseniz seçin , sayıya her zaman bir tane ekleyebilir ve başka bir sayı elde edebilirdiniz . George buna tüm sonsuzlukların en basiti - sayma sayılarının sonsuzluğu - sayılabilir sonsuzluk adını verdi . 

George daha sonra diğer sayı kümelerinin sayıca sonsuz olup olmadığını nasıl anlayacağını düşündü. 

George , öğeleri sayma sayılarıyla bire bir eşlemeye sokulabilen herhangi bir sayma kümesinin de sayılabilecek şekilde sonsuz olduğunu söyledi. Böyle bir eşleme, sonlu kümelerin aynı büyüklükte olduğunu nasıl bildiğimizin basit bir uzantısıdır. Sonuçta, bir seti sayarsanız, setin nesneleriyle olası en düşük sayma sayılarının bir alt kümesinin bire bir eşlemesini yaparsınız . Kullandığınız en yüksek sayım numarası sayı kümesinin boyutudur. Ancak en yüksek sayı yoksa sayı kümemiz sonsuzdur.

Ancak sonsuzluk - hatta sayılabilir bir sonsuzluk - olağan anlamda bir sayı değildir ve George'un birden fazla sonsuzluk türü olduğuna dair şüphesi de doğruydu. Daha sonra diyagonal argümanı kullanarak sayılamaz bir sonsuzluk olduğunu kanıtladı . George ayrıca en yüksek sonsuzluk olan mutlak bir sonsuzluk olduğunu varsaydı. 

Özellikler o kadar sıradışı ki bazı insanlar George'un sonuçlarına inanmadı ve bugün bile bazı insanlar George'un yaptığını kabul etmekte zorlanıyor.

Örneğin, sayma sayılarının yarısı kadar olduğunu düşündüğünüz bir küme gerçekten de aynı büyüklükte olabilir. Sayma numarasını çift sayılarla eşleştirebileceğiniz için bunun doğru olduğunu görebilirsiniz.

1 2

2 4

3 6

4 8

.
.
.

Böylece hangi çift sayıyı seçerseniz seçin, benzersiz bir sayım numarasıyla ilişkilendirilir . Bu eşleştirme, her sayım numarasını alan ve çift sayıyı oluşturan basit bir işlev alarak daha kesin olarak gösterilir .

f (n) = 2n, burada n = 1, 2, 3, ...

Genel olarak, o halde, sonsuz kümelerin bazı uygun alt kümeleri aslında sonsuzdu.

George orada durmadı. Sayma sayılarından daha büyük görünen bazı sayı kümelerinin de aynı büyüklükte olduğunu söyledi. Bunu, tam sayıları sayılan sayılarla eşleştirebileceğinizi göstererek yaptı :

1 0

2 -1

3 1

4 -2

5 2

6 -3

7 3

.
.
.

Bire bir eşleme, kuşkusuz biraz karmaşık bir formülle ifade edilebilir.

burada n = 1, 2, 3, ...

Bu formül, her sayma sayısının benzersiz bir tamsayı ile ilişkili olduğunu gösteren matematiksel tümevarımla kanıtlanmıştır . Dolayısıyla iki sayı kümesi de aynı boyuttadır.

Bu o zaman sonsuz kümeleri saymanın anahtarı oldu. Ne kadar büyük olursa olsun herhangi bir sayma numarasını başka bir kümenin benzersiz bir öğesiyle eşleştiren bir işlev bulabildiğiniz sürece , diğer küme, sayım sayıları ile aynı boyuttadır - veya George'un belirttiği gibi, aynı önem düzeyine sahiptir - . Böyle herhangi bir kümenin kendisi sayılabilir bir şekilde sonsuzdur.

Şimdi, keşfedilen bu kurallar ile George, rasyonel sayıların sonsuzluğu sorununu çözmeye karar verdi .

 

İnsanlar sayılarla ciddi olarak ilgilenmeye başladıklarında, tam sayılardan daha fazlasına ihtiyacınız olduğunu fark ettiler. Sonuçta , bir sayının parçalarıyla uğraşmanız gereken zamanlar oldu . Sonunda birisi - özellikle Babilliler ve Mısırlılar - kesirler kavramını veya daha doğrusu rasyonel sayıları geliştirdiler.

Rasyonel sayılar en iyi tamsayı oranları olarak temsil edilir ( rasyonel sözcüğü , herhangi birinin akıl yürütme yeteneğini değil , oranları ifade eder ). Tamsayılar, oranlar (0/1, 1/1, -1/1, 2/1, 3/1) olarak gösterilebildikleri için rasyonel sayılardır. Ancak diğer rasyonel sayılar, tam sayılar arasındaki boşlukları doldurur.

Bir süredir birçok insan (çoğunlukla Yunan filozofları) rasyonel sayıların ihtiyacınız olan tüm sayılar olduğunu düşündü. Ve günlük sorunların pratik amaçları için bir nebze haklıydılar. Günümüzde bile bilgisayarlar, π ve e gibi irrasyonel sayıları içeren formülleri kullanırken bile tüm hesaplamalarında rasyonel sayılar kullanıyor . Sonuçta, yuvarlanan herhangi bir irrasyonel sayı rasyonel bir sayı olur ve bir dairenin çevresini ölçmek istiyorsanız, ne kadar doğru bulmak istediğinize bağlı olarak çapı 3, 22/7, 355 / ile çarpabilirsiniz. 113 veya 314159265358979/100000000000000.

Ancak rasyonel sayıları saymaya çalışırken, sahip oldukları ve tam sayılarla paylaşılmayan bir özellik ile karşılaşırsınız. Rasyonel sayılar yoğundur . Yani, herhangi iki rasyonel sayı seçerseniz, aralarında başka bir rasyonel sayı bulabilirsiniz.

 

Akılcı Bir Düzenleme

 

George'un tamsayılar hakkındaki kanıtı gibi, rasyonel sayıların sayılabilecek şekilde sonsuz olduğuna dair her türden "diyagramatik gösteriler" bulabilirsiniz . Böyle bir alıntı - "kanıt" aşağıda gösterilmiştir. Buradaki fikir şudur: Okları takip ederseniz, istediğiniz her rasyonel için her zaman eşleşen bir sayma numarası bulacaksınız.

 

Elbette bu şema durumu gerçekten kanıtlamıyor. Rasyonel sayılar kümesinin sayma sayılarından daha hızlı büyüdüğünü biliyoruz ve tek yaptığımız, her kümenin yalnızca ilk birkaç öğesini eşleştirmek. İhtiyacımız olan şey, her rasyonel sayıyı her sayım sayısıyla eşleştirecek bir formüldür . Böyle bir formül bulabilirsek, o zaman iki küme aynı boyutta olmalıdır .

Ama önce, en baştan başlayıp tam olarak rasyonel sayıların ne olduğuna - ya da onları en iyi nasıl temsil edeceğimize karar vereceğiz.

Gerekçelerin iki popüler temsili vardır. Biri yukarıda gösterdiğimiz oranlardır (1/2, 1/9, 4/33 vb.). Diğer gösterim, sonlanan veya yinelenen rakam dizisidir (0.5, 0.111111 ..., 0.12121212 ...).

Öte yandan, amaçlarımız doğrultusunda, rasyonelleri temsil etmenin en iyi yolu , tam sayıların sıralı çiftleridir . Sıralı çiftler, genellikle (1, 2), (1, 9) veya (4, 33) gibi parantez içinde gösterilen, belirli bir sıradaki iki sayıdır. Bunların rasyonel olması için, ilk sayı pay, ikincisi ise payda.

Gösterim, sıralı bir çifti (i, j) alan ve benzersiz bir sayım numarası üreten bir işlev bulma sorununa uyar.

f (i, j) = n, burada n = 1, 2, 3, ... ve i ve j tamsayılardır.

Bu tür bir formül - bazı kısıtlamalarla birlikte - ihtiyacımız olan bire bir eşlemeyi oluşturacaktır.

Şimdi, psikiyatrın dediği gibi, başlayabiliriz, değil mi?

Yukarıdaki diyagramın önerdiği gibi, bir sırayla listelenebilecek bir rasyonel düzenleme bulmamız gerekiyor. Bunu yaparken üç kısımdan oluşan bir ispat oluşturacağız:

1. İlk olarak, yukarıda söylediğimiz gibi, rasyonel sayılar, sıralı sayı çiftleri olarak tanımlanır.

0 = (0, 1)

1/2 = (1, 2)

3/4 = (3, 4)

1/32 = (1, 32)

Burada, 1/0 rasyonel bir sayı olarak tanımlanmadığından (1, 0) gibi çiftleri hariç tutmamız gerektiğini not ediyoruz (sıfıra bölemezsiniz). Yani, hiçbir sıralı çift ikinci rakamı sıfıra sahip değildir.

Şimdi ne kadar farklı olmak istediğimizi de ele almalıyız . Yani 1/2, rasyonel bir sayıdır. Ama 2/4 ve 50/100 de öyle. Son iki rasyonel 1/2 ile aynı değere sahip , evet. Ama bunları farklı gerekçeler olarak mı ele almalıyız ?

Rasyonellerin orijinal tanımı nedeniyle - tamsayı oranları - farklı tam sayılara sahip oldukları sürece bu tür sayıları farklı olarak ele alacağız . Bu aynı zamanda rasyonel sayıların orijinal kullanımına da uygundur ve temsil ettiklerinde daha fazla özgüllük sağlar . Yani tanımımıza göre 1/2 ve 2/4 , aynı değere sahip olmalarına rağmen farklı rasyonel sayılardır .

1/2 ve 2/4 gibi sayıların farklı rasyonel olmasına izin vermek ispatı basitleştirir.

2. Tanımların ikinci kısmı , rasyonellerin bir dizi sıra halinde düzenlenmesini tanımlamaktır . Bu çok basit. Herhangi bir n satırı için, ^k'inci sıralı çift (n - k, k) olup burada k 1'den n'ye kadardır.

Bu, her satırın şu şekilde göründüğü anlamına gelir:

Satır n: (n - 1, 1), (n - 2, 2), (n - 3, 3), ..., (0, n)

Başka bir deyişle, herhangi bir satır, n, ilk sıralı çifti (n - 1, 1) olarak alarak başlar. Daha sonra aynı satırdaki bir sonraki sıralı çifti, birinci elemandan 1 çıkararak ve ikinciye 1 ekleyerek hesaplıyoruz. Son sıralı çift (0, n) olarak üst üste gelene kadar işleme devam ediyoruz.

1:	(0, 1)
2:	(1, 1), (0, 2)
3:	(2, 1), (1, 2), (0, 3)
	.
	.
	.
n:	(n-1, 1), (n-2, 2), (n-3, 3), ..., (0, n)
n + 1:	(n, 1), (n-1, 2), (n-2, 3), ..., (0, n + 1)
	.
	.
	.

Dizimizin burada bahsedeceğimiz iki özelliği var. İlk olarak, herhangi bir sütundaki tüm sıralı çiftler, ikinci öğe için aynı değere sahiptir. Yani aynı j değerine sahipler.

Ardından, dizimiz yalnızca pozitif rasyonelleri ve sıfırı üretir . Ancak, olumsuz gerekçeler arasında kaymanın kolay (veya görece kolay) olduğunu ve oluşturduğumuz son formülün tüm olumlu ve olumsuz gerekçeleri oluşturacağını gösterebileceğiz.

Tanımlarımızda hepsi bu kadar. Şimdi , tanımların, bazıları biraz ispat gerektirse de çok fazla olmayan bazı diğer özelliklerine işaret ederek başlayacağız .

 

İspata Başlamak

George'un ispatı, kısaca özetlediğimiz iki ana bölümden oluşmaktadır.

1. Önce tanımımızın tüm rasyonel sayıları ürettiğini kanıtlarız.

2. Ardından , sıralı çiftlerin tüm sayma sayılarını ürettiği bir formül türetmek için diziyi kullanabileceğimizi gösteriyoruz .

Bu noktaların her ikisini de ispat edersek, ispatlamak istediğimiz şeyi kanıtlamış oluruz - sayma sayıları ve rasyonellerin bire bir uyuşması yani eşleme ve tabii iki setin aynı büyüklükte olduğunu görme.

Şimdi devam edelim...

Dizimizin tanımından çıkarabileceğimiz üç sonuç var.

1. Bir satırdaki çiftlerin sayısı satır numarasına eşittir.

Sayı çiftinin ikinci elemanı 1 ile başlar ve n değerine ulaşıncaya kadar artar. Yani satır başına n öğe var.

n:	(n-1, 1),	(n-2, 2),	(n-3, 3),	...,	(0, n)
	1	2	3		n

2. Tüm rasyonel sayılar bizim tanımımıza göre oluşturulur. Spesifik olarak, herhangi bir sıralı çift için (i, j), Satır i + j ve Sütun j'de bulacaksınız.

Dizilere aşina olan insanlar muhtemelen böyle bir tanımın zorunlu olarak tüm olası sıralı çiftleri oluşturduğunu kabul ederler. Ancak hemen görmeyenler için, önce herhangi bir j satırına giderseniz, son sıralı çiftin (0, j) olduğunu unutmayın. Sonra aynı sütunda kalın ve sonunda ihtiyacınız olan herhangi bir i değerini bulabilirsiniz. Yani herhangi bir sıralı çifti bulduğunuzda (i, j), Sütun j ve Satır i + j'de olmalısınız.

Veya şematik biçimde:

 

Örneğin, sıralı çifti (31415926, 271827) ister misiniz? Kolay. 271827. sıraya gidin. Son sıralı çift (0, 271827). 31415926 basamak geri sayın ve 271826 + 31415927 = 31687753 numaralı sırada olacaksınız. Yeterince, sipariş ettiğiniz çift (31415926, 271827) olacaktır.

1: (0,1)

2: (1, 1) (0, 2)

3: (2, 1), (1, 2) (0, 3)

.

.

.

31415927: (31415926, 1), (31415925, 2), ... (0, 31415927)

.

.

.

31867753: (31867753, 1), (31867752, 2), ..., (31415926, 31415927), ..., (0, 31867753)

 

3. Her bir sıralı çift benzersizdir; hiçbir sıralı çift tekrarlanmaz.

Eğer sonuç açık değilse, o zaman aşağıdakileri düşünün.

Dizimizi tanımladığımız şekilde sütunların aynı j değerini paylaştığını belirttik. Dolayısıyla, iki sıralı çift aynıysa, aynı sütunda olmaları gerekir.

Ama bu mümkün değil. Satırları tanımlama şeklimizden, Satır n için, j sütunundaki sıralı çift (n - j, j) 'dir. Herhangi bir x satırında yukarı veya aşağı gidin ve sıralı çift (n ± x - j, j). Yani aynı sütundaysanız aynı i değerine sahip olamazsınız.

n:	(n-1, 1)	(n-2, 2)	(n-3, 3)	...	(1, n)
n + 1:	(n, 1)	(n-1, 2)	(n-2, 3)	...	(1, n + 1)

Yani tanımımıza göre, tüm sıralı çiftler benzersizdir ve dizimiz tüm olası (pozitif) rasyonel sayıları temsil eder.

Şimdi geçebiliriz.

 

Uygun Kanıt (veya Doğru Kanıt)

Son adımlar, sayma sayılarını sıralı çiftlerle ve dolayısıyla rasyonel sayılarla ilişkilendiren gerçek bir cebirsel formül geliştirmek için kalır. İspatın bu son kısmına beş adım var ve hepsi dizimizi nasıl oluşturduğumuza dayanıyor.

1. Satır n'ye kadar ve Satır n dahil olmak üzere toplam sıralı çift sayısı n (n + 1) / 2'dir

Her satırdaki sıralı çift sayısı n'dir. O halde 1'den n'ye kadar olan sayma sayılarını toplamamız gerekiyor.

Toplam sıralı çiftler =	1	+	2	+	3	+	4	+	...	+	n
Satıra Kadar	1		2		3		4		...		n

O halde formülümüz, herhangi bir matematik referans kaynağında bulunan iyi bilinen formülden gelir.

1 + 2 + 3 + ... + n = n (n + 1) / 2

Bu aynı zamanda tümevarımla kolayca kanıtlanabilecek bir şeye iyi bir örnektir ama şimdilik bunun geçmesine izin vereceğiz.

Bu noktada, zafer ilan etmek cazip gelebilir. Sonuçta, dizimizdeki sıra çiftlerini sayan bir formül yaptık. Ancak bu, belirli bir rasyonel sayıyı belirli bir sayım sayısıyla açıkça ilişkilendiren bir formül değildir. Ayrıca şimdiye kadar dizimizi pozitif rasyonel sayılar ve sıfır ile sınırladık . Öyleyse - bir Amerikan başkanının dediği gibi - devam edelim.

2. Sıralı çift (i, j) ile satırdan önceki satıra kadar sıralı çiftlerin sayısı (i + j - 1) (i + j) / 2'dir.

Her satır için, satırdaki herhangi bir sıralı çift için n = i + j'yi unutmayın. Bu nedenle, önceki satır, i + j - 1'e eşit olan n - 1'dir. Az önce türettiğimiz formülü kullanarak, i + j - 1 satırına kadar olan ve bu satırı içeren sıralı çiftlerin toplam sayısı şöyledir

n (n + 1) / 2	= (i + j - 1) (i + j - 1 + 1) / 2
	= (i+ j - 1) (i + j) / 2

Sıralı bir çift (i, j) sipariş çiftlerinin sayısı için 3. , aynı satırda kadar ve dahil olmak üzere çift (i, j) sadece j.

Bir kez daha bu sonuç bizim tanımımızdan hemen geliyor. Saymaya j = 1 olduğu ilk sütunda başlıyorsunuz. Yani satırdan bağımsız olarak herhangi bir sayıya ulaştığınızda, j, j yerindedir.

4. Herhangi bir çifte (i, j) kadar sıralı çiftlerin toplam sayısı (i + j - 1) (i + j) / 2 + j

Bunu, önceki iki adımdaki sayıları ekleyerek izler:

Toplam çiftler = (i + j - 1) (i + j) / 2 + j

5. Bu nedenle, herhangi bir sıralı çifti (i, j) - yani sıfır veya pozitif bir rasyonel sayı - benzersiz bir sayma numarası n ile ilişkilendiren fonksiyonumuz, N (i, j), tam da bu toplamdır.

N (i, j) = (i + j - 1) (i + j) / 2 + j

ve N (i, j) 1, 2, 3, ... değerlerine sahiptir

evet. İspatın sadece yarısını tamamladık .

 

Diğer Yarıyı Eklemek

Evet, pozitif rasyonel sayıları  sayma sayılarıyla ilişkilendiren bir formül türettik . Bu noktada olabilir sadece negatif rasyonel sayılar karşılık olur negatif j 's kullanılarak benzer bir denklem elde edebileceğini söylüyorlar. Bunu, j'lerin önündeki artı işaretini eksi işaretlerle değiştirerek yapıyoruz ve ardından sıralı çiftler (i, -j) sayma sayılarını üretecek. O halde, iki sayılabilir sonsuzluğu birleştirirseniz, hala sayılabilir bir sonsuzluğa sahip olduğunuzu söylüyoruz. Böylece, tüm rasyonellerin sayılabilecek şekilde sonsuz olduğunu kanıtladık .

Her ne kadar doğru olsa da, teoremi kanıtlayıcıların daha titizliği , faturaya uyan ve tüm rasyonelleri - pozitif, negatif ve sıfır - oluşturan ve bunları sayım sayılarıyla eşleştiren bir formül yapıp yapamayacağımızı bilmek isteyebilir .

Cevap evet, yoksa soruyu sormazdık.

 

Büyük formül

Hem pozitif hem de negatif rasyonel için sayma sayılarında yer açmanın püf noktası, herhangi bir sayma sayısını 2 ile çarptığınızda çift sayı elde edeceğinizi fark etmektir. Bunu 2 ile çarp ve bir çıkar, tek sayı elde edersin.

O halde formülümüzü alın (Henny Youngman'ın da söylediği gibi lütfen ).

N (i, j) = (i + j - 1) (i + j) / 2 + j

Sağ tarafı 2 ile çarpın ve sıralı çift dizimiz (i, j) sadece çift sayıları üretecektir.

N (i, j)	= 2 [(i + j - 1) (i + j) / 2 + j]
	= (i + j - 1) (i + j) + 2j

Tek sayıları oluşturmak için, orijinal denklemimizi 2 ile çarpar ve 1 çıkarırız.

N (i, j)	= 2 [(i + j - 1) (i + j) / 2 + j] - 1
	= (i + j - 1) (i + j) + 2j - 1

Şimdi denklemlerden birinin negatif j için çalışmasını sağlamalıyız. Yukarıda özetlediğimiz gibi çift sayıları kullanacağız - j'den önce bir eksi işareti koymanız yeterli.

N (i, j)

= (i - j - 1) (i - j) - 2j

Şimdi iki denklemi basitçe ekleyemeyiz, N (i, j) ve N (i, j). Bunun yerine önce her birini matematiksel bir "anahtar" ile çarpmamız gerekir. Yani, N (i, j) ve N (i, j) 'yi j'nin negatif olup olmamasına bağlı olarak denklemin bir kısmını kapatacak bir faktörle çarparız. Bu gerçekten çok kolay.

Formül

(1 - j / | j |) / 2

j negatifse 1 ve j pozitifse 0 değerine sahiptir (| j | j'nin mutlak değeri olarak olağan anlamı temsil eder ).

Benzer şekilde formül

(1 + j / | j |) / 2

j negatifse 0 ve j pozitifse 1 çarpanı verir.

Şimdi, ayrı denklemleri, N (i, j) ve N (i, j) 'yi uygun faktörlerle çarpıp sonra her şeyi toplarsanız, gerçekten, gerçekten işe yarayan bir denklem elde edersiniz.

N (i, j) = [(i + j - 1) (i + j) + 2j - 1] (1 + j / | j |) / 2 + [(i - j - 1) (i - j) - 2j] (1 - j / | j |) / 2

Bu, eğer orijinal dizimizi alırsanız ve sıralı çifti negatif j ile pozitif karşılığının altına eklerseniz, denklem gerçekten sayma sayılarını üretecektir.

 

(0, 1):		1
(0, -1):		2
(1, 1):		3
(1, -1):		4
(0, 2):		5
(0, -2):		6
(i, j):		n
(i, -j):		n + 1

Yine de bazı insanlar, çoklu sıfırların (0/1, 0/2, 0/3, vb.) Farklı rasyonel sayılar olduğunu söylemekten hoşlanmazlar. Evet, 2 / 4'ün - yani dörtten iki kısım - farklı bağlamlarda 1/2, 3/6, 50/100 ve benzerlerinden farklı olabileceğini iddia edebilirsiniz. Ama sıfır sıfırdır ve tekrarları istemiyoruz.

Ancak, ders kitaplarının dediği gibi kanıtı okuyucuya bırakılan - tekrarları atlayan alternatif bir formül var. [Bu arada kanıt, satırları 1. Satır (0,1) olacak şekilde tanımlamaya ve 2. Satırdan başlayarak satırların (0, n) değil (1, n) ile bitmesine dayanmaktadır. Satır 1 ve Satır 2'nin her ikisinin de tek bir sıralı çifti olması cebiri karmaşıklaştırır, ancak hepsi bu kadar değil.]

N (i, j)	= [(i + j - 1) (i + j - 2) + 2j + 2δ 0, i - 2] (1 + j / | j |) / 2
	+ [(i - j - 1) (i - j - 2) - 2j + 2δ 0, i - 1] (1 - j / | j |) / 2
	+ 1 - δ 0, i

 

 δ _{0, i} ünlü Kronecker deltası;

δ _{0, i} = 0 eğer i = 0

ve

δ _{0, i} = 1 eğer i ≠ 0

O halde bu formül, tüm rasyonel sayıları benzersiz bir sayım numarasıyla eşleyecektir. Tam da istediğimiz gibi.

 

Tamsayılar ve Sayma Sayıları

 

Başka bir deyişle, artık şundan eminiz ki rasyonel sayılar  sayma sayıları ile bire-bir eşleşir ve İki sayi kümesi elbet aynı boyutta olmalıdır .

Bir Açıklık Noktası

Bu noktada, bazı insanlar ikna olmamaya devam ediyor. Sonuçta 1/1, 2/1, 3/1, 4/1 rasyonelleri sayım sayılarıyla eşleştirebileceklerini ve sonsuz sayıda rasyonel kalabileceklerini söylüyorlar. Bu nedenle sayıları saymaktan daha fazla rasyonel olmalıdır . Tam sayıların sayım sayılarından daha fazla olması için aynı bağımsız değişkeni yapabilirsiniz. Pozitif tam sayıları, 1, 2, 3, ..., vb. Sayan sayılarla eşleştirebilir ve böylece negatif tam sayıları (ve sıfır) arta bırakabilirsiniz. Peki tamsayılar, rasyonel değerler ve sayma sayıları nasıl aynı büyüklükte olabilir?

O kadar hızlı değil. Evet, söyledikleriniz doğru ama tamamen alakasız. 1/1, 2/1, 3/1, 4/1 vb. Dediğinizde. Kesinlikle geçerli olan sayma sayıları ile eşleştirilebilir - çünkü 1/1, 2/1, 3/1, 4/1 vb. aslında sayım sayılarıdır. Yani tüm söylediğiniz, sayma sayılarının sayma sayılarıyla eşleştirilebileceğidir. Ya da başka bir deyişle, bire bir yazışmalarınızı yaptığınızda, setinizin tüm üyelerini diğer setle eşleştirmeyi ihmal ediyorsunuz.

Öte yandan, rasyonel kümesinin sayım sayılarıyla aynı büyüklükte olmadığını söylemek istiyorsanız , hiçbir işlevin bize rasyonel ve sayım sayılarına bire bir karşılık vermeyeceğini kanıtlamalısınız . Eğer böyle bir eşleştirme varlığını kanıtlayabilirim Sadece eğer, o zaman doğru setleri aynı boyutta değildir iddia edemez.

Ancak hem rasyonel sayılar için hem de tam sayılar için daha önce yaptığımız gibi, bu tür işlevlerin gerçekten olduğunu kanıtladık . Bu nedenle, rasyonel, tam sayı ve sayım sayıları aynı boyutta olmalıdır .

Rasyonel sayıların sayılabilir olduğunun kolay bir kanıtı

Elemanlarını sayabiliyorsanız bir küme sayılabilir . Elbette küme sonlu ise, elemanlarını kolayca sayabilirsiniz. Küme sonsuzsa, sayılabilir olmak, kümenin elemanlarını tıpkı doğal sayılar gibi sıraya koyabileceğiniz anlamına gelir. Yine başka bir deyişle, setin unsurlarını, her birinin bir "bekleme numarasına" sahip olduğu, ancak "çizginin" sonsuza kadar devam etmesine izin verdiğiniz bir "sabit çizgiye" koyabileceğiniz anlamına gelir.

Matematiksel terimlerle ifade edersek , bir küme sonlu ya da sonsuz ise sayılabilir ve kümenin elemanları ile doğal sayılar kümesi arasında bire bir eşleme bulabilirsiniz . Dikkat edin, sonsuz durum, setin elemanlarına sonsuz bir satırda bir bekleme numarası vermekle aynıdır :).

Ve işte rasyonel sayıları (başka bir deyişle kesirleri) böyle bir "bekleme çizgisine" nasıl sıralayabileceğiniz. Bu sadece pozitif kesirler içindir, ancak bunları sıraladıktan sonra, her bir negatif fraksiyonu satırdaki karşılık gelen pozitif olandan sonra kaydırabilir ve kalabalığın başına sıfır koyabilirsiniz. Bu kanıtı seviyorum çünkü çok basit ve sezgisel, ancak ikna edici.

Kırmızı / mavi tablo hücrelerindeki sayılar kanıtın bir parçası değildir, sadece size kesirlerin nasıl oluştuğunu gösterir. 1 olan 1 / 1'den başlayıp okları takip edin. Atlanan eşdeğer kesirler ile karşılaşacaksınız.

Düşünürseniz, tüm olası kesirler listede olacaktır. Örneğin, 145/8793, 145. sıra ile 8793. sütunun kesişme noktasındaki tabloda olacak ve sonunda "bekleme satırı" nda listelenecektir.